一副牌组合五

一副扑克牌，去掉两张王是 52 张。从中选取 5 张自由组合，符合特定模式的组合数是多少呢？

全部的组合数： \(\Big(_{5}^{52}\Big)=2598960\)

4 个同点

13 个点数，加上任意一张牌，结果是 \(13\times(52-4)=624\)

同花顺

同花顺和下面的大顺都是指五张牌点数连续。同花顺还要再加上花色相同这一条件。由于不能循环（比如 Q, K, A, 2, 3 是不能算作大顺的），顺子的可能性有 9 个。
花色有 4 个，同花顺的组合数为 \(4\times9=36\)

葫芦

13 个点数排列 2 （注意是排列而不是组合），再乘上花色的组合数，结果是 \(13\times 12\times \Big(_3^4\Big)\times \Big(_2^4\Big)=3744\)

3 个同点

13 个点数中选取 1 个作为 3 张相同的点数，再从剩下的 12 个点数中组合 2，三张点数相同牌的花色组合和一张牌的花色组合数都是 4 ，所以结果是： \(13\times \Big(_2^{12}\Big)\times 4^3=219648\)

大顺

点数组合有 9 种，每张牌有 4 种花色选择，再去掉同花顺的情况，结果是 \(9\times 4^5-36=9180\)

同花小顺

小顺指五张牌中有 4 张点数连续并且不是大顺的情况。同花小顺还需满足五张牌花色相同的要求。
花色相同时，点数组合有两种情况：连顺点数位于两端（2，3，4，5 和 J，Q，K，A）；连顺点数位于中间（有 8 种可能）。由于不能构成大顺，位于两端时余下的那张牌点数有 8 种选择，中间时余下的那张牌点数有 7 种选择。
最后乘以 4 种花色，结果为 \((2\times 8+8\times 7)\times 4=288\) 也可以这样计算：4张牌点数连续有 10 种可能，再在剩余 9 个点数里选取 1。这样选取后正好多出了大顺点数组合数（ 9 ）的两倍，因为每种大顺点数组合都被计算了两次。去掉这一数目，最后乘以 4 种花色，结果为 \((10\times 9-9\times 2)\times 4=288\) 点数各不相同的小顺点数组合数为 72，下面计算小顺时会用到这一数据。

小顺

小顺的点数组合不能按照同花小顺的方法来计算，因为可能出现点数相同而花色不同的情况。我们按点数组合将小顺分为两种情况：小顺带一对；点数各不同。 后一种情况点数组合数上面已给出。每张牌有 4 种花色选择，再去掉同花小顺的情况，结果为
\(72\times 4^5-288=73440\)

小顺带一对，点数组合数为 4 张点数连续的 10 种可能，乘上重复点数的 4 种可能。花色组合情况，三张不重复点数的牌每张有 4 种可能花色，2 张重复点数的牌花色组合数为 4 组合 2。最终的结果为 \(4\times 10\times 4^3\times\Big(_2^4\Big)=15360\) 将两种情况相加，得 \(73440+15360=88800\)

两对

13 个点数组合 2，再从剩余 11 个点数中选取 1。乘上花色的组合数，结果为 \(\Big(_2^{13}\Big)\times 11\times\Big(_2^4\Big)\times\Big(_2^4\Big)\times4=123552\)

同花

13 个点数组合 5，去掉大顺和小顺的点数组合数，乘以 4 种花色，结果为 \((\Big(_5^{13}\Big)-9-72)\times4=4824\)

一对

13 个点数选取 1 作为一对的点数，乘以剩余 12 个点数组合 3，去掉小顺带一对的情况，再乘以花色的组合数，结果为 \((13\times\Big(_3^{12}\Big)-40)\times\Big(_2^4\Big)\times4^3=1082880\)

按顺序排列一下。