以下问题及解答来自《数学女孩》
求正整数 n 的所有约数和 S
设:
\[n=\prod_{k=0}^m{p_k}^{a_k}\]其中 pk 为素数,ak 为正整数.
n 的约数有以下形式:
\[\prod_{k=0}^mp_k^{b_k}\]其中b0 … bm 为一特定组合, 满足:
- b0 = 0, 1, 2 … a0 中的一个;
- b1 = 0, 1, 2 … a1 中的一个;
- …
- bm = 0, 1, 2, … am 中的一个.
n 的所有约数和即为:
\[S=\sum\prod_{k=0}^mp_k^{b_k}\]这个式子可以化为以下形式:
\[S=\prod_{k=0}^m\sum_{n=0}^kp_k^n\\ =\prod_{k=0}^m\frac{1-p_k^{a_k+1}}{1-p_k}\]